Упр.297 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=-x^3+3x-2$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём точки пересечения с осями координат.
С осью $$Oy$$: $$f(0)=-2.$$ Значит, точка пересечения — $$\,(0;-2).$$
С осью $$Ox$$:
$$-x^3+3x-2=0 \\\\ x^3-3x+2=0 \\\\ (x-1)^2(x+2)=0$$
Отсюда $$x=-2$$ и $$x=1.$$ Точки пересечения: $$(-2;0)$$ и $$\,(1;0).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-3x^2+3=3(1-x^2)=3(1-x)(1+x).$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1.$$
Знаки производной:
$$f'(x)>0$$ при $$-1<x<1,$$
$$f'(x)<0$$ при $$x<-1$$ и $$x>1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-1;1)$$ и убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;\infty).$$
Экстремумы:
$$f(-1)=-(-1)^3+3\cdot(-1)-2=-4,$$
$$f(1)=-1+3-2=0.$$
Значит, в точке $$x=-1$$ — минимум, в точке $$x=1$$ — максимум.
б) $$f(x)=x^4-2x^2-3$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
С осью $$Oy$$: $$f(0)=-3,$$ значит, точка $$\,(0;-3).$$
С осью $$Ox$$:
$$x^4-2x^2-3=0 \\\\ (x^2-3)(x^2+1)=0$$
Так как $$x^2+1\neq 0$$ для всех действительных $$x,$$ получаем
$$x^2-3=0,\quad x=\pm\sqrt{3}.$$
Точки пересечения: $$(-\sqrt{3};0)$$ и $$\left(\sqrt{3};0\right).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
Знаки производной:
$$f'(x)<0$$ на $$(-\infty;-1)$$ и $$(0;1),$$
$$f'(x)>0$$ на $$(-1;0)$$ и $$(1;\infty).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(0;1),$$ возрастает на $$(-1;0)$$ и $$(1;\infty).$$
Экстремумы:
$$f(-1)=1-2-3=-4,$$
$$f(0)=-3,$$
$$f(1)=1-2-3=-4.$$
Значит, в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ — минимумы, в точке $$x=0$$ — максимум.
в) $$f(x)=x^3+3x+2$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
С осью $$Oy$$: $$f(0)=2,$$ значит, точка $$\,(0;2).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2+3=3(x^2+1)>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$
Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой $$(-\infty;\infty).$$
Точек экстремума нет.
г) $$f(x)=3x^2-x^3$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
С осью $$Oy$$: $$f(0)=0,$$ значит, точка $$\,(0;0).$$
С осью $$Ox$$:
$$3x^2-x^3=0 \\\\ x^2(3-x)=0$$
Отсюда $$x=0$$ и $$x=3.$$ Точки пересечения: $$\,(0;0)$$ и $$\,(3;0).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2.$$
Знаки производной:
$$f'(x)<0$$ на $$(-\infty;0)$$ и $$(2;\infty),$$
$$f'(x)>0$$ на $$(0;2).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(2;\infty),$$ возрастает на $$(0;2).$$
Экстремумы:
$$f(0)=0,$$
$$f(2)=3\cdot 2^2-2^3=4.$$
Значит, в точке $$x=0$$ — минимум, в точке $$x=2$$ — максимум.
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb{R}$$; пересечения с осями: $$(-2;0),\ (1;0),\ (0;-2)$$; возрастает на $$(-1;1)$$, убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;\infty)$$; минимум $$f(-1)=-4,$$ максимум $$f(1)=0.$$
б) $$D(f)=\mathbb{R}$$; пересечения с осями: $$(-\sqrt{3};0),\ (\sqrt{3};0),\ (0;-3)$$; убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(0;1),$$ возрастает на $$(-1;0)$$ и $$(1;\infty)$$; минимумы $$f(-1)=f(1)=-4,$$ максимум $$f(0)=-3.$$
в) $$D(f)=\mathbb{R}$$; пересечение с осью $$Oy$$: $$(0;2)$$; функция возрастает на $$(-\infty;\infty),$$ экстремумов нет.
г) $$D(f)=\mathbb{R}$$; пересечения с осями: $$(0;0),\ (3;0)$$; убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(2;\infty),$$ возрастает на $$(0;2)$$; минимум $$f(0)=0,$$ максимум $$f(2)=4.$$
