Упр.296 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=x^2-2x+8$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-2=2(x-1).$$
Критическая точка: $$x=1.$$
Так как $$f'(x)<0$$ при $$x<1,$$ то функция убывает на $$(-\infty;1),$$ а при $$x>1$$ имеем $$f'(x)>0,$$ значит, функция возрастает на $$(1;+\infty).$$
Следовательно, в точке $$x=1$$ достигается минимум:
$$f(1)=1-2+8=7.$$
Пересечение с осью ординат:
$$f(0)=8.$$
Пересечений с осью абсцисс нет, так как уравнение $$x^2-2x+8=0$$ не имеет действительных корней.
б) $$f(x)=-\frac{2x^2}{3}+x+\frac{2}{3}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{4x}{3}+1.$$
Критическая точка:
$$-\frac{4x}{3}+1=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{3}{4}.$$
Так как $$f'(x)>0$$ при $$x<\frac{3}{4},$$ то функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{3}{4}\right),$$ а при $$x>\frac{3}{4}$$ убывает на $$\left(\frac{3}{4};+\infty\right).$$
Следовательно, в точке $$x=\frac{3}{4}$$ достигается максимум:
$$f\!\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{16}+\frac{3}{4}+\frac{2}{3}=\frac{25}{24}.$$
Пересечение с осью ординат:
$$f(0)=\frac{2}{3}.$$
Пересечения с осью абсцисс:
$$-\frac{2x^2}{3}+x+\frac{2}{3}=0 \;\Rightarrow\; 2x^2-3x-2=0,$$
$$x_1=-\frac{1}{2},\quad x_2=2.$$
в) $$f(x)=-x^2+5x+4$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2x+5.$$
Критическая точка:
$$-2x+5=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{5}{2}.$$
Так как $$f'(x)>0$$ при $$x<\frac{5}{2},$$ то функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{5}{2}\right),$$ а при $$x>\frac{5}{2}$$ убывает на $$\left(\frac{5}{2};+\infty\right).$$
Следовательно, в точке $$x=\frac{5}{2}$$ достигается максимум:
$$f\!\left(\frac{5}{2}\right)=-\left(\frac{5}{2}\right)^2+5\cdot\frac{5}{2}+4=\frac{41}{4}.$$
Пересечение с осью ординат:
$$f(0)=4.$$
Пересечения с осью абсцисс:
$$-x^2+5x+4=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}.$$
г) $$f(x)=\frac{x^2}{4}+\frac{x}{16}+\frac{1}{4}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{16}=\frac{1}{16}(8x+1).$$
Критическая точка:
$$\frac{x}{2}+\frac{1}{16}=0 \;\Rightarrow\; x=-\frac{1}{8}.$$
Так как $$f'(x)<0$$ при $$x<-\frac{1}{8},$$ то функция убывает на $$\left(-\infty;-\frac{1}{8}\right),$$ а при $$x>-\frac{1}{8}$$ возрастает на $$\left(-\frac{1}{8};+\infty\right).$$
Следовательно, в точке $$x=-\frac{1}{8}$$ достигается минимум:
$$f\!\left(-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{64}+\frac{-1/8}{16}+\frac{1}{4}=\frac{63}{256}.$$
Пересечение с осью ординат:
$$f(0)=\frac{1}{4}.$$
Пересечений с осью абсцисс нет, так как уравнение
$$\frac{x^2}{4}+\frac{x}{16}+\frac{1}{4}=0$$
не имеет действительных корней.
Ответ
а) убывает на $$(-\infty;1),$$ возрастает на $$(1;+\infty),$$ минимум $$f(1)=7$$;
б) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{3}{4}\right),$$ убывает на $$\left(\frac{3}{4};+\infty\right),$$ максимум $$f\!\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{25}{24}$$;
в) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{5}{2}\right),$$ убывает на $$\left(\frac{5}{2};+\infty\right),$$ максимум $$f\!\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{41}{4}$$;
г) убывает на $$\left(-\infty;-\frac{1}{8}\right),$$ возрастает на $$\left(-\frac{1}{8};+\infty\right),$$ минимум $$f\!\left(-\frac{1}{8}\right)=\frac{63}{256}$$.
