Упр.295 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=\frac12x^4-8x^2$$
Область определения: $$\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x^3-16x=2x(x-2\sqrt2)(x+2\sqrt2).$$
Критические точки: $$x=-2\sqrt2,\;0,\;2\sqrt2.$$
Исследуем знак производной:
$$(-\infty;\,-2\sqrt2]\;-\;\text{убывает},\qquad [-2\sqrt2;\,0]\;-\;\text{возрастает},$$
$$[0;\,2\sqrt2]\;-\;\text{убывает},\qquad [2\sqrt2;\,+\infty)\;-\;\text{возрастает}.$$
Следовательно, в точках $$x=\pm2\sqrt2$$ — минимумы, а в точке $$x=0$$ — максимум.
Найдём значения функции в этих точках:
$$f(0)=0,$$
$$f(\pm2\sqrt2)=\frac12\cdot(2\sqrt2)^4-8\cdot(2\sqrt2)^2=32-64=-32.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$\frac12x^4-8x^2=0,$$
$$x^2\left(\frac12x^2-8\right)=0,$$
$$x=0,\;x=\pm4.$$
Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси $$Oy.$$
б) $$f(x)=\frac{3x}{1+x^2}$$
Область определения: $$\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{3(1+x^2)-3x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{3(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.$$
Критические точки: $$x=-1,\;1.$$
Так как $$\left(1+x^2\right)^2>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется выражением $$1-x^2.$$
Получаем:
$$(-\infty;\,-1]\;-\;\text{убывает},\qquad [-1;\,1]\;-\;\text{возрастает},\qquad [1;\,+\infty)\;-\;\text{убывает}.$$
Значит, $$x=-1$$ — точка минимума, $$x=1$$ — точка максимума.
$$f(-1)=-\frac32,\qquad f(1)=\frac32.$$
Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.
в) $$f(x)=2x-\frac16x^3$$
Область определения: $$\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2-\frac12x^2=-\frac12(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2,\;2.$$
Исследуем знак производной:
$$(-\infty;\,-2]\;-\;\text{убывает},\qquad [-2;\,2]\;-\;\text{возрастает},\qquad [2;\,+\infty)\;-\;\text{убывает}.$$
Следовательно, $$x=-2$$ — точка минимума, $$x=2$$ — точка максимума.
$$f(-2)=-\frac83,\qquad f(2)=\frac83.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$2x-\frac16x^3=0,$$
$$x\left(2-\frac16x^2\right)=0,$$
$$x=0,\;x=\pm2\sqrt3.$$
г) $$f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$$
Область определения: $$x\ne1.$$ Поэтому $$x=1$$ — вертикальная асимптота.
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+2)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$$
Критические точки: $$x=0,\;x=2.$$
Так как $$\left(x-1\right)^2>0$$ при $$x\ne1,$$ знак производной определяется числителем $$x(x-2).$$
Получаем:
$$(-\infty;\,0]\;-\;\text{возрастает},\qquad [0;\,1)\;-\;\text{убывает},$$
$$(1;\,2]\;-\;\text{убывает},\qquad [2;\,+\infty)\;-\;\text{возрастает}.$$
Значит, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
$$f(0)=-2,\qquad f(2)=2.$$
Преобразуем функцию:
$$f(x)=\frac{(x-1)^2+1}{x-1}=x-1+\frac1{x-1}.$$
Отсюда видно, что наклонная асимптота: $$y=x-1.$$
График не пересекает ось $$Ox,$$ так как уравнение $$x^2-2x+2=0$$ не имеет действительных корней.
Ответ
а) $$(-\infty;\,-2\sqrt2]$$ и $$[0;\,2\sqrt2]$$ — убывает; $$[-2\sqrt2;\,0]$$ и $$[2\sqrt2;\,+\infty)$$ — возрастает; минимумы при $$x=\pm2\sqrt2,$$ максимум при $$x=0.$$
б) $$(-\infty;\,-1]$$ и $$[1;\,+\infty)$$ — убывает; $$[-1;\,1]$$ — возрастает; минимум при $$x=-1,$$ максимум при $$x=1.$$
в) $$(-\infty;\,-2]$$ и $$[2;\,+\infty)$$ — убывает; $$[-2;\,2]$$ — возрастает; минимум при $$x=-2,$$ максимум при $$x=2.$$
г) $$(-\infty;\,0]$$ и $$[1;\,2]$$ — возрастает; $$[0;\,1)$$ и $$[2;\,+\infty)$$ — убывает; максимум при $$x=0,$$ минимум при $$x=2.$$
