Упр.293 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=(x-2)^3.$$

Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Найдём производную:

$$f'(x)=3(x-2)^2.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$3(x-2)^2=0,$$

откуда $$x=2.$$

Точка $$x=2$$ — критическая.

б) $$f(x)=\begin{cases} -x-2, & x\le -1,\\ x, & -1<x<1,\\ 2-x, & x\ge 1. \end{cases}$$

Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Найдём производную на каждом промежутке:

$$f'(x)=\begin{cases} -1, & x<-1,\\ 1, & -1<x<1,\\ -1, & x>1. \end{cases}$$

В точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ производная не существует, значит, это критические точки.

в) $$f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}.$$

Функция определена при $$x\in (-\infty,0)\cup(0,\infty).$$ Найдём производную:

$$f'(x)=\frac13-\frac{3}{x^2}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac13-\frac{3}{x^2}=0,$$

$$x^2=9,$$

$$x=\pm 3.$$

Точки $$x=-3$$ и $$x=3$$ — критические.

г) $$f(x)=\begin{cases} x+6, & x<-2,\\ x^2, & -2\le x\le 2,\\ 6-x, & x>2. \end{cases}$$

Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Найдём производную на промежутках:

$$f'(x)=\begin{cases} 1, & x<-2,\\ 2x, & -2<x<2,\\ -1, & x>2. \end{cases}$$

Приравниваем производную к нулю на среднем промежутке:

$$2x=0,$$

откуда $$x=0.$$

В точках $$x=-2$$ и $$x=2$$ производная не существует, значит, это тоже критические точки.

Ответ: а) $$x=2$$; б) $$x=-1,\,1$$; в) $$x=-3,\,3$$; г) $$x=-2,\,0,\,2$$.