Упр.292 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём критические точки — значения $$x$$, при которых $$f'(x)=0$$ или производная не существует.

а)

$$f(x)=\sin^2 x-\cos x.$$

Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=2\sin x\cos x+\sin x=\sin x(2\cos x+1).$$

Приравняем производную к нулю:

$$\sin x(2\cos x+1)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$

Получаем:

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

$$\cos x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

б)

$$f(x)=2x+\frac{8}{x^2}.$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2-\frac{16}{x^3}=\frac{2(x^3-8)}{x^3}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{2(x^3-8)}{x^3}=0 \quad \Rightarrow \quad x^3-8=0 \quad \Rightarrow \quad x=2.$$

Точка $$x=0$$ не входит в область определения, поэтому критической не является.

в)

$$f(x)=10\cos x+\sin 2x-6x.$$

Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=-10\sin x+2\cos 2x-6.$$

Приравняем к нулю:

$$-10\sin x+2\cos 2x-6=0.$$

Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$-10\sin x+2(1-2\sin^2 x)-6=0,$$

$$2\sin^2 x+5\sin x+2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$\left(2\sin x+1\right)\left(\sin x+2\right)=0.$$

Так как $$\sin x\in[-1;1],$$ то подходит только

$$\sin x=-\frac12.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

г)

$$f(x)=x^3-4x+8.$$

Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-4.$$

Приравняем к нулю:

$$3x^2-4=0,$$

$$x^2=\frac{4}{3},$$

$$x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\; n,k\in \mathbb{Z};$$

б) $$x=2;$$

в) $$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in \mathbb{Z};$$

г) $$x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$