Упр.290 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=5+12x-x^3$$

Найдём производную:

$$f'(x)=12-3x^2=3(4-x^2)=3(2-x)(2+x).$$

Критические точки: $$x=-2,\; x=2.$$

Знак производной меняется так: при $$x<-2$$ — «−», при $$-2<x<2$$ — «+», при $$x>2$$ — «−».

Следовательно, $$x=-2$$ — точка минимума, $$x=2$$ — точка максимума.

б) $$f(x)=9+8x^2-x^4$$

Найдём производную:

$$f'(x)=16x-4x^3=-4x(x-2)(x+2).$$

Критические точки: $$x=-2,\; x=0,\; x=2.$$

Знак производной меняется так: при $$x<-2$$ — «+», при $$-2<x<0$$ — «−», при $$0<x<2$$ — «+», при $$x>2$$ — «−».

Следовательно, $$x=-2$$ и $$x=2$$ — точки максимума, $$x=0$$ — точка минимума.

в) $$f(x)=2x^3+3x^2-4$$

Найдём производную:

$$f'(x)=6x^2+6x=6x(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\; x=0.$$

Знак производной меняется так: при $$x<-1$$ — «+», при $$-1<x<0$$ — «−», при $$x>0$$ — «+».

Следовательно, $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.

г) $$f(x)=\frac12x^4-x^2$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x^3-2x=2x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\; x=0,\; x=1.$$

Знак производной меняется так: при $$x<-1$$ — «−», при $$-1<x<0$$ — «+», при $$0<x<1$$ — «−», при $$x>1$$ — «+».

Следовательно, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=-1$$ и $$x=1$$ — точки минимума.

Ответ

а) критические точки: $$-2,\,2$$; минимум при $$x=-2$$, максимум при $$x=2$$.

б) критические точки: $$-2,\,0,\,2$$; максимумы при $$x=-2$$ и $$x=2$$, минимум при $$x=0$$.

в) критические точки: $$-1,\,0$$; максимум при $$x=-1$$, минимум при $$x=0$$.

г) критические точки: $$-1,\,0,\,1$$; максимум при $$x=0$$, минимумы при $$x=-1$$ и $$x=1$$.