Упр.286 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-27x+2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-27=3(x^2-9)=3(x-3)(x+3).$$
На промежутке $$P_1=[-1;1]$$ имеем $$f'(x)<0,$$ значит, функция убывает. Проверим значения на концах:
$$f(-1)=(-1)^3-27\cdot(-1)+2>0,$$
$$f(1)=1^3-27\cdot1+2<0.$$
Так как функция на $$P_1$$ непрерывна и строго убывает, то уравнение имеет на этом промежутке единственный корень.
На промежутке $$P_2=[4;6]$$ имеем $$f'(x)>0,$$ значит, функция возрастает. Тогда
$$f(4)=4^3-27\cdot4+2<0,$$
$$f(6)=6^3-27\cdot6+2>0.$$
Следовательно, на $$P_2$$ уравнение также имеет единственный корень.
б) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-4x-9.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-4=4(x^3-1)=4(x-1)(x^2+x+1).$$
Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x,$$ то знак производной определяется множителем $$x-1$$. Значит, функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$
На $$P_1=[-2;0]$$ функция убывает, причём
$$f(-2)=(-2)^4-4\cdot(-2)-9>0,$$
$$f(0)=0^4-4\cdot0-9<0.$$
Значит, на $$P_1$$ уравнение имеет единственный корень.
На $$P_2=[2;3]$$ функция возрастает, и
$$f(2)=2^4-4\cdot2-9<0,$$
$$f(3)=3^4-4\cdot3-9>0.$$
Следовательно, на $$P_2$$ уравнение имеет единственный корень.
в) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4+6x^2-8.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3+12x=4x(x^2+3).$$
Так как $$x^2+3>0,$$ то функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
На $$P_1=[-2;-1]$$ функция убывает, а
$$f(-2)=(-2)^4+6\cdot(-2)^2-8>0,$$
$$f(-1)=(-1)^4+6\cdot(-1)^2-8<0.$$
Следовательно, на $$P_1$$ уравнение имеет единственный корень.
На $$P_2=[1;2]$$ функция возрастает, и
$$f(1)=1^4+6\cdot1^2-8<0,$$
$$f(2)=2^4+6\cdot2^2-8>0.$$
Значит, на $$P_2$$ уравнение имеет единственный корень.
г) Рассмотрим функцию $$f(x)=-1+3x^2-x^3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x-3x^2=-3x(x-2).$$
Функция возрастает на $$[0;2]$$ и убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty).$$
На $$P_1=[-2;0]$$ функция убывает, причём
$$f(-2)=-1+3\cdot(-2)^2-(-2)^3>0,$$
$$f(0)=-1+3\cdot0^2-0^3<0.$$
Следовательно, на $$P_1$$ уравнение имеет единственный корень.
На $$P_2=[2;3]$$ функция убывает, и
$$f(2)=-1+3\cdot2^2-2^3>0,$$
$$f(3)=-1+3\cdot3^2-3^3<0.$$
Значит, на $$P_2$$ уравнение имеет единственный корень.
Ответ
На каждом из данных промежутков уравнение имеет единственный корень.
