Упр.286 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что работа, которая производится против силы выталкивания воды при погружении однородного тела в воду, равна $$\rho g V h$$, где $$\rho$$ — плотность воды, $$g$$ — ускорение свободного падения, $$h$$ — глубина погружения центра масс части тела, находящейся в воде, $$V$$ — её объём.

Сила выталкивания для погружённой части тела равна

$$F(x)=\rho gV(x),$$

где $$\rho$$ — плотность воды, $$g$$ — ускорение свободного падения, $$V(x)$$ — объём погружённой части тела на глубине $$x$$.

Так как тело однородное, объём погружённой части пропорционален глубине погружения:

$$V(x)=kx,$$

где $$k=\dfrac{V}{h}$$, $$V$$ — объём всей погружённой части тела, $$h$$ — глубина погружения её центра масс.

Тогда работа против силы выталкивания равна

$$A=\int_0^h \rho gkx\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$A=\rho gk\int_0^h x\,dx =\rho gk\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^h =\rho gk\dfrac{h^2}{2}.$$

Подставим $$k=\dfrac{V}{h}$$:

$$A=\rho g\cdot \dfrac{V}{h}\cdot \dfrac{h^2}{2} =\dfrac{\rho gVh}{2}.$$

Итак, работа, совершаемая против силы выталкивания воды при погружении однородного тела в воду, равна

$$\dfrac{\rho gVh}{2}.$$

Ответ: $$\dfrac{\rho gVh}{2}$$.