Упр.285 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите центр масс однородного полушара радиуса $$R$$.

Рассмотрим полушар как тело вращения. Из соображений симметрии его центр масс лежит на оси симметрии, поэтому достаточно найти только его координату по этой оси.

Пусть ось $$Oz$$ направлена от плоскости основания к вершине полушара. Тогда для сечения на расстоянии $$z$$ от основания радиус круга равен

$$r^2=R^2-z^2,$$

а площадь сечения

$$S(z)=\pi(R^2-z^2).$$

Объём полушара:

$$M=\frac{2\pi R^3}{3}.$$

Координата центра масс:

$$z’=\frac{1}{M}\int_0^R z\cdot \pi(R^2-z^2)\,dz.$$

Вычислим интеграл:

$$z’=\frac{\pi}{M}\int_0^R (R^2z-z^3)\,dz =\frac{\pi}{M}\left(\frac{R^2z^2}{2}-\frac{z^4}{4}\right)\Bigg|_0^R.$$

$$z’=\frac{\pi}{M}\left(\frac{R^4}{2}-\frac{R^4}{4}\right) =\frac{\pi R^4}{4M}.$$

Подставим $$M=\dfrac{2\pi R^3}{3}$$:

$$z’=\frac{\pi R^4}{4}\cdot \frac{3}{2\pi R^3} =\frac{3R}{8}.$$

Следовательно, центр масс полушара находится на оси симметрии на расстоянии $$\frac{3R}{8}$$ от плоскости основания.

Ответ: $$\left(0;\,0;\,\frac{3R}{8}\right).$$