Упр.284 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=2-\frac{4}{0{,}5x-1}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(2-\frac{4}{0{,}5x-1}\right)’=\frac{2}{(0{,}5x-1)^2}.$$

Так как $$f'(x)>0$$ при всех $$x\ne 2,$$ функция возрастает на промежутках

$$(-\infty;2)\ \text{и}\ (2;+\infty).$$

Точка $$x=2$$ не входит в область определения.

б) $$f(x)=|x-3|-2.$$

Раскроем модуль:

$$f(x)= \begin{cases} 1-x, & x\le 3,\\ x-5, & x>3. \end{cases}$$

Тогда

$$f'(x)= \begin{cases} -1, & x<3,\\ 1, & x>3. \end{cases}$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty).$$

в) $$f(x)=8x^2-x^4.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=16x-4x^3=-4x(x-2)(x+2).$$

Исследуем знак производной. Получаем:

$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(0;2),$$

$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-2;0)\cup(2;+\infty).$$

Значит, функция возрастает на промежутках

$$(-\infty;-2]\ \text{и}\ [0;2],$$

а убывает на промежутках

$$[-2;0]\ \text{и}\ [2;+\infty).$$

г) $$f(x)=\left|\frac{1}{x}-1\right|.$$

Раскроем модуль, учитывая знак выражения $$\frac{1-x}{x}:$$

$$f(x)= \begin{cases} 1-\frac{1}{x}, & x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty),\\[4pt] \frac{1}{x}-1, & x\in(0;1). \end{cases}$$

Тогда

$$f'(x)= \begin{cases} \frac{1}{x^2}, & x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty),\\[4pt] -\frac{1}{x^2}, & x\in(0;1). \end{cases}$$

Следовательно, функция возрастает на промежутках

$$(-\infty;0)\ \text{и}\ [1;+\infty),$$

а убывает на промежутке

$$[0;1].$$

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty);$$

б) убывает на $$(-\infty;3]$$, возрастает на $$[3;+\infty);$$

в) возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и $$[0;2],$$ убывает на $$[-2;0]$$ и $$[2;+\infty);$$

г) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty),$$ убывает на $$[0;1].$$