Упр.284 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите центр масс однородного полукруга радиуса $$R$$.

Пусть полукруг радиуса $$R$$ расположен так, что его диаметр лежит на оси $$Ox$$, а центр симметрии совпадает с началом координат. Тогда по симметрии абсцисса центра масс равна

$$x_c=0.$$

Найдём ординату центра масс. Для однородной плоской фигуры

$$y_c=\frac{1}{M}\int_0^R y\,dM,$$

где $$M$$ — масса полукруга. Так как плотность постоянна, можно считать, что масса пропорциональна площади, и использовать формулу для полукруга:

$$M=\frac{\pi R^2}{2}.$$

Возьмём вертикальную полоску на расстоянии $$r$$ от центра. Её длина равна

$$l=2\sqrt{R^2-r^2},$$

поэтому

$$y_c=\frac{1}{M}\int_0^R r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}\,dr.$$

Сделаем замену:

$$u=R^2-r^2,\qquad du=-2r\,dr.$$

Тогда

$$y_c=\frac{1}{M}\int_{R^2}^{0}\sqrt{u}\,(-du)=\frac{1}{M}\int_0^{R^2}\sqrt{u}\,du.$$

Вычислим интеграл:

$$y_c=\frac{1}{M}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_0^{R^2}=\frac{1}{M}\cdot \frac{2}{3}R^3.$$

Подставим $$M=\frac{\pi R^2}{2}$$:

$$y_c=\frac{\frac{2}{3}R^3}{\frac{\pi R^2}{2}}=\frac{4R}{3\pi}.$$

Следовательно, центр масс полукруга имеет координаты

$$\left(0;\frac{4R}{3\pi}\right).$$

Ответ

$$\left(0;\frac{4R}{3\pi}\right)$$