Упр.283 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=x^3+3x^2-9x+1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3).$$
Производная положительна при $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;\infty),$$ а отрицательна при $$x\in(-3;1).$$
Значит, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-3]$$ и $$[1;\infty),$$ убывает на промежутке $$[-3;1].$$
Найдём значения функции в точках экстремума:
$$f(-3)=(-3)^3+3\cdot(-3)^2-9\cdot(-3)+1=28,$$
$$f(1)=1^3+3\cdot1^2-9\cdot1+1=-4.$$
Следовательно, график проходит через точки $$(-3;28)$$ и $$\left(1;-4\right).$$
б) $$f(x)=4x^3-1{,}5x^4$$
Найдём производную:
$$f'(x)=12x^2-6x^3=6x^2(2-x).$$
Производная положительна при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;2),$$ а отрицательна при $$x\in(2;\infty).$$
Значит, функция возрастает на промежутке $$(-\infty;2],$$ убывает на промежутке $$[2;\infty).$$
Найдём значения функции в точках $$x=0$$ и $$x=2$$:
$$f(0)=0,$$
$$f(2)=4\cdot2^3-1{,}5\cdot2^4=8.$$
Следовательно, график проходит через точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(2;8\right).$$
в) $$f(x)=2+9x+3x^2-x^3$$
Найдём производную:
$$f'(x)=9+6x-3x^2=-3(x^2-2x-3)=-3(x-3)(x+1).$$
Производная положительна при $$x\in(-1;3),$$ а отрицательна при $$x\in(-\infty;-1)\cup(3;\infty).$$
Значит, функция возрастает на промежутке $$[-1;3],$$ убывает на промежутках $$(-\infty;-1]$$ и $$[3;\infty).$$
Найдём значения функции в точках $$x=-1$$ и $$x=3$$:
$$f(-1)=2+9\cdot(-1)+3\cdot(-1)^2-(-1)^3=-3,$$
$$f(3)=2+9\cdot3+3\cdot3^2-3^3=29.$$
Следовательно, график проходит через точки $$\left(-1;-3\right)$$ и $$\left(3;29\right).$$
г) $$f(x)=x^4-2x^2$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
Производная положительна при $$x\in(-1;0)\cup(1;\infty),$$ а отрицательна при $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;1).$$
Значит, функция возрастает на промежутках $$[-1;0]$$ и $$[1;\infty),$$ убывает на промежутках $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1].$$
Функция чётная. Найдём значения в точках $$x=\pm1$$ и $$x=0$$:
$$f(-1)=f(1)=-1,\qquad f(0)=0.$$
Следовательно, график проходит через точки $$\left(-1;-1\right),\ \left(1;-1\right),\ \left(0;0\right).$$
Точки пересечения с осью абсцисс:
$$x^4-2x^2=0,$$
$$x^2(x^2-2)=0,$$
$$x=0,\ x=\pm\sqrt2.$$
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[1;\infty),$$ убывает на $$[-3;1]$$;
б) возрастает на $$(-\infty;2],$$ убывает на $$[2;\infty)$$;
в) возрастает на $$[-1;3],$$ убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[3;\infty)$$;
г) возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1].$$
