Упр.283 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Однородная треугольная пластинка с основанием $$a=40\ \text{см}$$ и высотой $$h=30\ \text{см}$$ вращается вокруг основания с постоянной угловой скоростью $$\omega=5\ \text{с}^{-1}$$. Найдите кинетическую энергию пластинки, если её толщина $$d=0{,}2\ \text{см}$$, а плотность материала, из которого изготовлена пластинка, равна $$\rho=2{,}2\ \text{г/см}^3$$. Толщиной пластинки пренебречь.

Подробный ответ

Для сечения пластинки на расстоянии $$x$$ от основания имеем по подобию треугольников:

$$\frac{c(x)}{h-x}=\frac{a}{h}, \qquad c(x)=\frac{a(h-x)}{h}=a\left(1-\frac{x}{h}\right).$$

Тогда масса тонкого слоя толщины $$dx$$ равна

$$dm=\rho \, d \, c(x)\,dx=\rho d a\left(1-\frac{x}{h}\right)dx.$$

Момент инерции пластинки относительно основания:

$$I=\int_0^h x^2\,dm=\int_0^h \rho d a\left(1-\frac{x}{h}\right)x^2\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$I=\rho d a\int_0^h \left(x^2-\frac{x^3}{h}\right)dx =\rho d a\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4h}\right)\Bigg|_0^h =\rho d a\left(\frac{h^3}{3}-\frac{h^3}{4}\right) =\frac{\rho d a h^3}{12}.$$

Кинетическая энергия вращающейся пластинки:

$$E=\frac{I\omega^2}{2}=\frac{\rho d a h^3\omega^2}{24}.$$

Подставим данные:

$$\rho=2{,}2\ \text{г/см}^3=2200\ \text{кг/м}^3,\quad d=0{,}2\ \text{см}=0{,}002\ \text{м},$$

$$a=40\ \text{см}=0{,}4\ \text{м},\quad h=30\ \text{см}=0{,}3\ \text{м},\quad \omega=5\pi\ \text{с}^{-1}.$$

Тогда

$$E=\frac{2200\cdot 0{,}002\cdot 0{,}4\cdot 0{,}3^3\cdot (5\pi)^2}{24}\approx 0{,}48\ \text{Дж}.$$