Упр.282 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Какую минимальную работу по преодолению силы тяжести надо произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме конуса высотой $$H$$ и радиусом основания $$R$$? Плотность песка равна ?, и его поднимают с плоскости основания конуса.

Подробный ответ

Рассмотрим слой песка на высоте $$h$$ от основания конуса. Радиус сечения на этой высоте равен $$r(h)$$. По подобию треугольников

$$\frac{r(h)}{H-h}=\frac{R}{H}, \qquad r(h)=R\left(1-\frac{h}{H}\right).$$

Тогда масса тонкого слоя толщины $$dh$$ равна

$$dm=\rho \pi r^2(h)\,dh=\rho \pi R^2\left(1-\frac{h}{H}\right)^2dh.$$

Чтобы поднять этот слой на высоту $$h$$, нужно совершить работу

$$dA=gh\,dm=\rho \pi R^2 g\,h\left(1-\frac{h}{H}\right)^2dh.$$

Полная работа:

$$A=\int_0^H \rho \pi R^2 g\,h\left(1-\frac{h}{H}\right)^2dh =\rho \pi R^2 g\int_0^H \left(h-\frac{2h^2}{H}+\frac{h^3}{H^2}\right)dh.$$

Вычислим интеграл:

$$A=\rho \pi R^2 g\left(\frac{h^2}{2}-\frac{2h^3}{3H}+\frac{h^4}{4H^2}\right)\Bigg|_0^H$$

$$=\rho \pi R^2 g\left(\frac{H^2}{2}-\frac{2H^2}{3}+\frac{H^2}{4}\right) =\rho \pi R^2 g\cdot \frac{H^2}{12}.$$