Упр.281 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите пары чисел $$a$$ и $$b$$, при которых функция $$f(x)=a\sin(?x)+b$$ удовлетворяет условиям: $$f'(2)=2$$, $$\int_0^2 f(x)\,dx=4$$.

$$f(x)=a\sin \pi x+b,$$

$$f'(x)=a\pi \cos \pi x.$$

Из первого условия:

$$f'(2)=2,$$

$$a\pi \cos 2\pi=2,$$

$$a\pi=2,$$

$$a=\frac{2}{\pi}.$$

Из второго условия:

$$\int_0^2 f(x)\,dx=4,$$

$$\int_0^2 \left(\frac{2}{\pi}\sin \pi x+b\right)dx=4.$$

Тогда

$$\left[-\frac{2}{\pi^2}\cos \pi x+bx\right]_0^2=4,$$

$$-\frac{2}{\pi^2}\cos 2\pi+2b+\frac{2}{\pi^2}\cos 0=4,$$

$$2b=4,$$

$$b=2.$$

Ответ: $$a=\frac{2}{\pi},\quad b=2.$$