Упр.281 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Капля воды с начальной массой $$M$$ падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу $$m$$. Какова работа силы тяжести за время от начала падения капли до её полного испарения?

Время полного испарения капли:

$$T=\frac{M}{m}.$$

За время $$t$$ масса капли равна

$$M-mt,$$

поэтому сила тяжести

$$F(t)=(M-mt)g.$$

Скорость свободного падения:

$$v(t)=gt.$$

Тогда работа силы тяжести за всё время падения до полного испарения равна

$$A=\int_0^T F(t)\,v(t)\,dt =\int_0^{M/m}(M-mt)g\cdot gt\,dt.$$

Вычислим интеграл:

$$A=\int_0^{M/m}(Mg^2t-mg^2t^2)\,dt =\left(\frac{Mg^2t^2}{2}-\frac{mg^2t^3}{3}\right)\Bigg|_0^{M/m}.$$

Подставим пределы:

$$A=\frac{Mg^2}{2}\cdot\frac{M^2}{m^2}-\frac{mg^2}{3}\cdot\frac{M^3}{m^3} =\frac{g^2M^3}{2m^2}-\frac{g^2M^3}{3m^2} =\frac{g^2M^3}{6m^2}.$$

Ответ

$$\frac{g^2M^3}{6m^2}.$$