Упр.280 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производные функций и исследуем их знак.

1. $$f(x)=-\frac{2}{x}+1$$

   $$f'(x)=\left(-2x^{-1}+1\right)’=2x^{-2}=\frac{2}{x^2}.$$

   Так как $$\frac{2}{x^2}>0$$ при всех $$x\neq 0$$, то функция возрастает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$.

2. $$f(x)=x^2(x-3)$$

   $$f'(x)=\left(x^3-3x^2\right)’=3x^2-6x=3x(x-2).$$

   Знак производной:

   $$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty),$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } x\in(0;2).$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$(2;+\infty)$$, убывает на $$(0;2)$$.

3. $$f(x)=\frac{x-3}{x}$$

   $$f'(x)=\left(\frac{x-3}{x}\right)’=\frac{3}{x^2}.$$

   Так как $$\frac{3}{x^2}>0$$ при всех $$x\neq 0$$, то функция возрастает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$.

4. $$f(x)=x^3-27x$$

   $$f'(x)=3x^2-27=3(x-3)(x+3).$$

   Знак производной:

   $$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty),$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-3;3).$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-3)$$ и $$(3;+\infty)$$, убывает на $$(-3;3)$$.

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$;
б) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$(2;+\infty)$$, убывает на $$(0;2)$$;
в) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$;
г) возрастает на $$(-\infty;-3)$$ и $$(3;+\infty)$$, убывает на $$(-3;3)$$.