Упр.280 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- При каком значении $$a$$ площадь фигуры, ограниченной осью $$Ox$$, графиком функции $$y=x^3+3x^2+x+a$$ и вертикалями $$x=\mathrm{const}$$ в точках экстремума этой функции, будет наименьшей?
Найдём точки экстремума функции
$$y=x^3+3x^2+x+a.$$
Производная:
$$y'(x)=3x^2+6x+1.$$
Решим уравнение $$3x^2+6x+1=0$$:
$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 1=36-12=24,$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{24}}{2\cdot 3}=\frac{-6\pm 2\sqrt6}{6}=\frac{-3\pm\sqrt6}{3}.$$
Обозначим
$$x_1=\frac{-3-\sqrt6}{3},\qquad x_2=\frac{-3+\sqrt6}{3}.$$
Площадь фигуры, ограниченной осью $$Ox$$, графиком функции и вертикалями в точках экстремума, равна
$$S=\int_{x_1}^{x_2}(x^3+3x^2+x+a)\,dx.$$
Чтобы эта площадь была наименьшей, нужно, чтобы она была равна нулю, то есть чтобы график между точками экстремума совпадал с осью $$Ox$$ по площади в смысле алгебраической площади. Тогда
$$\int_{x_1}^{x_2}(x^3+3x^2+x+a)\,dx=0.$$
Первообразная:
$$F(x)=\frac14x^4+x^3+\frac12x^2+ax.$$
Подставим пределы интегрирования:
$$F\!\left(\frac{-3+\sqrt6}{3}\right)-F\!\left(\frac{-3-\sqrt6}{3}\right)=0.$$
После упрощения получаем
$$1+a=0,$$
откуда
$$a=-1.$$
Ответ
$$-1$$
