Упр.28 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что для любого числа $$M$$ найдётся такое натуральное $$n$$, что сумма $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}$$ будет больше $$M$$.
Рассмотрим сумму
$$1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac1n.$$
Сгруппируем слагаемые так:
$$1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\cdots$$
В каждой группе, начиная со второй, каждое слагаемое не меньше последнего в группе. Поэтому
$$\frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12,$$
$$\frac15+\frac16+\frac17+\frac18>\frac18+\frac18+\frac18+\frac18=\frac12,$$
и вообще каждая следующая группа больше $$\frac12.$$ Тогда
$$1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac1n>1+\frac12+\frac12+\frac12+\cdots.$$
Правая часть может содержать сколь угодно много слагаемых $$\frac12,$$ а значит, её можно сделать больше любого числа $$M$$, если взять достаточно большое $$n$$. Следовательно, для любого числа $$M$$ найдётся натуральное $$n$$ такое, что
$$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n>M.$$
Ответ
Для любого $$M$$ существует натуральное $$n$$, при котором $$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n>M.$$
