Упр.279 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороны в её середине?

Пусть сторона квадрата равна $$2a.$$ Тогда площадь квадрата равна

$$S= (2a)^2=4a^2.$$

Так как парабола проходит через две соседние вершины квадрата и касается одной стороны в её середине, удобно выбрать уравнение параболы в виде

$$y=kx^2.$$

Из условия касания стороны в середине получаем, что при $$x=a$$ имеем $$y=2a$$, значит

$$ka^2=2a,$$

откуда

$$k=\frac{2}{a}, \qquad y=\frac{2}{a}x^2.$$

Найдём площадь верхней части фигуры:

$$S_1=\int_{-a}^{a}\left(2a-\frac{2}{a}x^2\right)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$S_1=\left(2ax-\frac{2x^3}{3a}\right)\Bigg|_{-a}^{a} = \left(2a^2-\frac{2a^2}{3}\right)-\left(-2a^2+\frac{2a^2}{3}\right) =\frac{8a^2}{3}.$$

Тогда площадь нижней части равна

$$S_2=S-S_1=4a^2-\frac{8a^2}{3}=\frac{4a^2}{3}.$$

Следовательно, искомое отношение площадей:

$$S_1:S_2=\frac{8a^2}{3}:\frac{4a^2}{3}=2:1.$$

Ответ

$$2:1$$