Упр.278 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=x^2-4x+5$$ и касательными к ней, проведенными через ее точки с абсциссами $$x=1$$ и $$x=3$$.

Найдём уравнения касательных к параболе $$y=x^2-4x+5.$$

Производная:

$$y’=2x-4.$$

В точке $$x=1$$ имеем:

$$y(1)=1-4+5=2, \qquad y'(1)=2\cdot 1-4=-2.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y-2=-2(x-1),$$

откуда

$$y=4-2x.$$

В точке $$x=3$$ имеем:

$$y(3)=9-12+5=2, \qquad y'(3)=2\cdot 3-4=2.$$

Уравнение второй касательной:

$$y-2=2(x-3),$$

откуда

$$y=2x-4.$$

Найдём точку пересечения касательных:

$$4-2x=2x-4,$$

$$4x=8,$$

$$x=2.$$

Теперь вычислим площадь фигуры как сумму двух интегралов:

$$S=\int\limits_{1}^{2}\bigl((x^2-4x+5)-(4-2x)\bigr)\,dx+\int\limits_{2}^{3}\bigl((x^2-4x+5)-(2x-4)\bigr)\,dx.$$

Упростим подынтегральные выражения:

$$S=\int\limits_{1}^{2}(x^2-2x+1)\,dx+\int\limits_{2}^{3}(x^2-6x+9)\,dx.$$

Тогда

$$S=\int\limits_{1}^{2}(x-1)^2\,dx+\int\limits_{2}^{3}(x-3)^2\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left.\frac{(x-1)^3}{3}\right|_{1}^{2}+\left.\frac{(x-3)^3}{3}\right|_{2}^{3} =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

Ответ

$$\frac{2}{3}$$