Упр.278 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть за время $$t$$ первое тело прошло путь $$OA=5t$$, а второе — путь $$OB=2t^2+t$$.

Тогда расстояние между телами найдём по теореме косинусов, так как угол между лучами равен $$60^\circ$$:

$$AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 60^\circ$$

$$AB^2=(5t)^2+(2t^2+t)^2-2\cdot 5t\cdot (2t^2+t)\cdot \frac12$$

$$AB^2=25t^2+(4t^4+4t^3+t^2)-(10t^3+5t^2)=4t^4-6t^3+21t^2.$$

Значит, расстояние между телами

$$S(t)=AB=\sqrt{4t^4-6t^3+21t^2}.$$

Скорость удаления тел равна производной расстояния по времени:

$$v=S'(t)=\left(\sqrt{4t^4-6t^3+21t^2}\right)’ =\frac{(4t^4-6t^3+21t^2)’}{2\sqrt{4t^4-6t^3+21t^2}}.$$

$$v=\frac{16t^3-18t^2+42t}{2\sqrt{4t^4-6t^3+21t^2}} =\frac{8t^3-9t^2+21t}{\sqrt{4t^4-6t^3+21t^2}}.$$

Вынесем $$t^2$$ из-под корня:

$$\sqrt{4t^4-6t^3+21t^2}=t\sqrt{4t^2-6t+21}, \qquad t>0.$$

Тогда

$$v=\frac{8t^2-9t+21}{\sqrt{4t^2-6t+21}} \quad (\text{км/ч}), \qquad t>0.$$

Ответ

$$\frac{8t^2-9t+21}{\sqrt{4t^2-6t+21}}\ \text{км/ч}, \quad t>0.$$