Упр.278 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что площадь параболического сегмента, заключённого между параболой $$y=x^2$$ и произвольной прямой, параллельной оси абсцисс, равна $$\frac{2}{3}$$ площади прямоугольника с вершинами в точках пересечения прямой с параболой и основаниями перпендикуляров к оси абсцисс, опущенных из точек пересечения.

Пусть прямая параллельна оси абсцисс имеет уравнение $$y=a,\quad a>0.$$

Точки пересечения с параболой $$y=x^2$$ найдём из уравнения

$$x^2=a,\qquad x=\pm\sqrt{a}.$$

Тогда площадь параболического сегмента равна

$$S=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}(a-x^2)\,dx =\left(ax-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}.$$

Вычислим:

$$S=\left(a\sqrt{a}-\frac{(\sqrt{a})^3}{3}\right)-\left(-a\sqrt{a}+\frac{(\sqrt{a})^3}{3}\right) =\frac{4a\sqrt{a}}{3}.$$

Теперь найдём площадь прямоугольника, вершины которого лежат в точках пересечения прямой с параболой, а основания перпендикуляров опущены на ось абсцисс. Его основание равно

$$2\sqrt{a},$$

а высота равна

$$a.$$

Значит, площадь прямоугольника

$$S_{\text{пр}}=2\sqrt{a}\cdot a=2a\sqrt{a}.$$

Тогда

$$\frac{2}{3}S_{\text{пр}}=\frac{2}{3}\cdot 2a\sqrt{a}=\frac{4a\sqrt{a}}{3}=S.$$

Следовательно, площадь параболического сегмента равна $$\frac{2}{3}$$ площади указанного прямоугольника.

Ответ: доказано, $$S=\frac{2}{3}S_{\text{пр}}.$$