Упр.277 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=2{,}5+2x-0{,}5x^2$$, $$x=-1$$ и касательной к данной параболе, проведённой через её точку с абсциссой $$x=3$$.

Найдём уравнение касательной к параболе $$y=2{,}5+2x-0{,}5x^2$$ в точке с абсциссой $$x=3$$.

Производная:

$$y’ = 2 — x.$$

Тогда

$$y(3)=2{,}5+2\cdot 3-0{,}5\cdot 3^2=4,$$

$$y'(3)=2-3=-1.$$

Уравнение касательной:

$$y-4=-1(x-3),$$

откуда

$$y=7-x.$$

Теперь найдём площадь фигуры между прямой $$y=7-x$$, параболой $$y=2{,}5+2x-0{,}5x^2$$ и прямой $$x=-1$$:

$$S=\int\limits_{-1}^{3}\Bigl((7-x)-(2{,}5+2x-0{,}5x^2)\Bigr)\,dx.$$

Упростим подынтегральное выражение:

$$S=\int\limits_{-1}^{3}(4{,}5-3x+0{,}5x^2)\,dx.$$

Интегрируем:

$$S=\left(4{,}5x-\frac{3x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_{-1}^{3}.$$

Подставим пределы:

$$S=\left(4{,}5\cdot 3-\frac{3\cdot 3^2}{2}+\frac{3^3}{6}\right)-\left(4{,}5\cdot(-1)-\frac{3\cdot(-1)^2}{2}+\frac{(-1)^3}{6}\right).$$

$$S=6+\frac{4}{3}=\frac{22}{3}.$$

Ответ

$$\frac{22}{3}$$