Упр.277 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\frac{1}{x}$$, $$y=\frac{1}{2x-1}$$, $$x=2$$, $$x=a$$, $$y=0$$, равна $$\ln\frac{4}{\sqrt{5}}$$. Найдите $$a$$.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Если $$a>2$$

Тогда площадь равна

$$S=\int\limits_{2}^{a}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x-1}\right)\,dx =\left(\ln|x|-\frac12\ln|2x-1|\right)\Bigg|_{2}^{a}.$$

Подставим пределы:

$$S=\ln a-\frac12\ln(2a-1)-\ln 2+\frac12\ln 3 =\ln\frac{a\sqrt3}{2\sqrt{2a-1}}.$$

По условию

$$\ln\frac{a\sqrt3}{2\sqrt{2a-1}}=\ln\frac{4}{\sqrt5}.$$

Тогда

$$\frac{a\sqrt3}{2\sqrt{2a-1}}=\frac{4}{\sqrt5},$$

$$5\cdot 3a^2=16(2a-1),$$

$$15a^2-128a+64=0.$$

$$D=128^2-4\cdot 15\cdot 64=15544,$$

$$a=\frac{128\pm 112}{30}.$$

Получаем

$$a_1=\frac{16}{30}<2,\qquad a_2=\frac{240}{30}=8.$$

Для случая $$a>2$$ подходит только $$a=8$$.

2. Если $$a<2$$

Тогда площадь состоит из двух частей:

$$S=\int\limits_{1}^{a}\left(\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{x}\right)\,dx+\int\limits_{a}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x-1}\right)\,dx.$$

После вычисления получаем

$$S=\ln\frac{2a}{\sqrt{3(2a-1)}}.$$

По условию

$$\ln\frac{2a}{\sqrt{3(2a-1)}}=\ln\frac{4}{\sqrt5}.$$

Следовательно,

$$\frac{2a}{\sqrt{3(2a-1)}}=\frac{4}{\sqrt5},$$

$$5\cdot 4a^2=16(6a-3),$$

$$5a^2-24a+12=0.$$

$$D=24^2-4\cdot 5\cdot 12=336=16\cdot 21,$$

$$a=\frac{24\pm 4\sqrt{21}}{10}=\frac{12\pm 2\sqrt{21}}{5}.$$

Из условия $$a<2$$ подходит только

$$a=\frac{12-2\sqrt{21}}{5}.$$

Ответ: $$8;\ \frac{12-2\sqrt{21}}{5}$$.