Упр.276 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите площадь каждой из фигур, на которые прямая $$y=x+4$$ делит фигуру, ограниченную линиями $$y=\frac{1}{2}x^2$$ и $$y=8$$.

Найдём точки пересечения прямой $$y=x+4$$ с параболой $$y=\frac12x^2$$ и с прямой $$y=8$$.

1) Пересечение $$y=\frac12x^2$$ и $$y=x+4$$:

$$\frac12x^2=x+4$$

$$x^2-2x-8=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm6}{2}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=4$$

2) Пересечение $$y=x+4$$ и $$y=8$$:

$$x+4=8,\quad x=4$$

3) Пересечение $$y=\frac12x^2$$ и $$y=8$$:

$$\frac12x^2=8,\quad x^2=16,\quad x=\pm4$$

Итак, фигура ограничена сверху прямой $$y=8$$, снизу параболой $$y=\frac12x^2$$, а прямая $$y=x+4$$ делит её на две части.

Площадь всей фигуры:

$$S=\int_{-4}^{4}\left(8-\frac12x^2\right)\,dx$$

$$S=\left(8x-\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_{-4}^{4}=64-\frac{64}{6}+64-\frac{64}{6}=64-\frac{64}{3}=\frac{128}{3}$$

Площадь одной части:

$$S_1=\int_{-2}^{4}\left(x+4-\frac12x^2\right)\,dx$$

$$S_1=\left(\frac{x^2}{2}+4x-\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_{-2}^{4}$$

$$S_1=\left(8+16-\frac{64}{6}\right)-\left(2-8+\frac{8}{6}\right)=18$$

Тогда площадь второй части:

$$S_2=S-S_1=\frac{128}{3}-18=\frac{74}{3}=24\frac{2}{3}$$

Ответ

$$18;\ 24\frac{2}{3}$$