Упр.276 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) $$y=|x^2-1|$$ и $$y=5+|x|$$; б) $$|y|=2x-x^2$$.

а) Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$|x^2-1|=5+|x|.$$

Рассмотрим при $$x\ge 0$$:

$$|x|=x,\qquad |x^2-1|=\begin{cases}1-x^2,&0\le x\le 1,\\ x^2-1,&x\ge 1.\end{cases}$$

На отрезке $$0\le x\le 1$$ получаем

$$1-x^2=5+x,$$

что решений не имеет. На отрезке $$x\ge 1$$:

$$x^2-1=5+x,$$

$$x^2-x-6=0,$$

$$x=3 \quad (\text{подходит}).$$

По симметрии относительно оси $$Oy$$ второй корень: $$x=-3$$.

Площадь фигуры вдвое больше площади правой половины:

$$\frac S2=\int\limits_1^3\bigl((5+x)-(x^2-1)\bigr)\,dx+\int\limits_0^1\bigl((5+x)-(1-x^2)\bigr)\,dx.$$

Тогда

$$\frac S2=\int\limits_1^3(6+x-x^2)\,dx+\int\limits_0^1(4+x+x^2)\,dx.$$

Вычислим:

$$\frac S2=\left(6x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_1^3+\left(4x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1.$$

$$\frac S2=\left(18+\frac92-9\right)-\left(6+\frac12-\frac13\right)+\left(4+\frac12+\frac13\right).$$

$$\frac S2=\frac{73}{6},\qquad S=\frac{73}{3}.$$

б) Из уравнения

$$|y|=2x-x^2$$

следует, что

$$2x-x^2\ge 0,$$

то есть

$$x(2-x)\ge 0,\qquad 0\le x\le 2.$$

Границы фигуры: $$y=2x-x^2$$ и $$y=-(2x-x^2)=x^2-2x$$.

Площадь равна

$$S=\int\limits_0^2\bigl((2x-x^2)-(x^2-2x)\bigr)\,dx=\int\limits_0^2(4x-2x^2)\,dx.$$

$$S=\left(2x^2-\frac{2}{3}x^3\right)\Bigg|_0^2=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}.$$

Ответ: а) $$\frac{73}{3}$$; б) $$\frac{8}{3}$$.