Упр.275 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметров $$a$$, $$b$$ и $$c$$ определён интеграл:
   а) $$\int_a^b \frac{dx}{x-2}$$;
   б) $$\int_0^3 \frac{dx}{x-c}$$;
   в) $$\int_a^b \frac{dx}{x+c}$$?

Интеграл $$\int \frac{dx}{x-2}$$ определён тогда и только тогда, когда подынтегральная функция не имеет разрыва на отрезке интегрирования, то есть точка $$x=2$$ не должна принадлежать промежутку интегрирования.

а)

Для $$\int\limits_a^b \frac{dx}{x-2}$$ нужно, чтобы числа $$a$$ и $$b$$ были по одну сторону от точки $$2$$:

$$a>2,\ b>2 \quad \text{или} \quad a<2,\ b<2.$$

б)

Для $$\int\limits_0^3 \frac{dx}{x-c}$$ точка разрыва $$x=c$$ не должна лежать на отрезке $$[0;3]$$. Значит,

$$c<0 \quad \text{или} \quad c>3.$$

в)

Для $$\int\limits_a^b \frac{dx}{x+c}$$ точка разрыва $$x=-c$$ не должна принадлежать промежутку интегрирования. Следовательно,

$$a>-c,\ b>-c \quad \text{или} \quad a<-c,\ b<-c.$$

Ответ

а) $$a>2,\ b>2$$ или $$a<2,\ b<2$$;

б) $$c<0$$ или $$c>3$$;

в) $$a>-c,\ b>-c$$ или $$a<-c,\ b<-c$$.