Упр.274 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения интеграла:
   а) $$\int_0^a \cos\frac{x}{2}\,dx$$, $$a\in\mathbb{R}$$;
   б) $$\int_0^{a+\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\,dx$$, $$a\in\mathbb{R}$$.

$$A=\int\limits_0^a \cos \frac{x}{2}\,dx=2\sin \frac{x}{2}\Big|_0^a=2\sin \frac{a}{2}.$$

Так как $$-1\le \sin \frac{a}{2}\le 1,$$ то

$$-2\le 2\sin \frac{a}{2}\le 2.$$

Следовательно, наибольшее значение интеграла равно $$2,$$ а наименьшее — $$-2.$$

$$A=\int\limits_0^{a+\frac{\pi}{2}} \cos 2x\,dx=\frac12 \sin 2x\Big|_0^{a+\frac{\pi}{2}}=\frac12 \sin(2a+\pi).$$

Так как $$\sin(2a+\pi)=-\sin 2a,$$ то

$$A=-\frac{\sin 2a}{2}.$$

Поскольку $$-1\le \sin 2a\le 1,$$ получаем

$$-\frac12\le -\frac{\sin 2a}{2}\le \frac12.$$

Значит, наибольшее значение интеграла равно $$\frac12,$$ а наименьшее — $$-\frac12.$$

Ответ: а) $$-2; 2$$; б) $$-\frac12; \frac12$$.