Упр.273 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Используя геометрическую интерпретацию интеграла, вычислите: а) $$\int_{-2}^{2}\left||x|-1\right|\,dx$$; б) $$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$$; в) $$\int_{0}^{3}|x^2-1|\,dx$$; г) $$\int_{0}^{5}\left|\{x\}-\frac{1}{2}\right|\,dx$$.

Подробный ответ

а) На отрезке $$[-2;2]$$ график функции $$y=\bigl||x|-1\bigr|$$ состоит из четырёх одинаковых прямоугольных треугольников с катетами $$1$$ и $$1$$. Тогда

$$S=4\cdot \frac12 \cdot 1 \cdot 1=2.$$

б) Функция $$y=\sqrt{1-x^2}$$ задаёт верхнюю полуокружность радиуса $$1$$:

$$x^2+y^2=1,\qquad -1\le x\le 1.$$

Тогда искомый интеграл равен площади полуокружности:

$$S=\frac12 \pi \cdot 1^2=\frac{\pi}{2}.$$

в) На отрезке $$[0;3]$$ имеем:

$$|x^2-1|= \begin{cases} 1-x^2, & 0\le x\le 1,\\ x^2-1, & 1\le x\le 3. \end{cases}$$

Поэтому

$$S=\int_0^1 (1-x^2)\,dx+\int_1^3 (x^2-1)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1+\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\Big|_1^3 = \left(1-\frac13\right)+\left(9-3-\frac13+1\right) =\frac23+\frac{16}{3}=\frac{18}{3}=6.$$

г) На каждом промежутке длины $$1$$ функция $$\{x\}$$ линейно возрастает от $$0$$ до $$1$$, поэтому график $$\left|\{x\}-\frac12\right|$$ на каждом таком промежутке даёт два одинаковых треугольника с основанием $$\frac12$$ и высотой $$\frac12$$. За отрезок $$[0;5]$$ таких треугольников $$10$$:

$$S=10\cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12=\frac{10}{8}=\frac54=1{,}25.$$