Упр.272 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите:

1. $$\int_{0}^{2\pi}\cos^2(nx)\,dx \quad (n\in\mathbb{N});$$
2. $$\int_{0}^{2\pi}\sin(kx)\cos(mx)\,dx \quad (m\in\mathbb{N},\ k\in\mathbb{N});$$
3. $$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(x)\,dx;$$
4. $$\int_{0}^{\pi}\sin(3x)\cos(5x)\,dx.$$

а) $$S=\int_{0}^{2\pi}\cos^2 nx\,dx=\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos 2nx}{2}\,dx.$$

$$S=\left.\frac{x}{2}+\frac{\sin 2nx}{4n}\right|_{0}^{2\pi}=\frac{2\pi}{2}+\frac{\sin 4\pi n}{4n}-0-\frac{\sin 0}{4n}=\pi.$$

Ответ: $$\pi$$

б) $$S=\int_{0}^{2\pi}\sin kx\cos mx\,dx.$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin kx\cos mx=\frac{\sin (k+m)x+\sin (k-m)x}{2}.$$

Тогда

$$S=\frac12\int_{0}^{2\pi}\sin (k+m)x\,dx+\frac12\int_{0}^{2\pi}\sin (k-m)x\,dx=0,$$

так как на отрезке $$[0;2\pi]$$ интеграл от синуса с целым числом в аргументе равен нулю.

Ответ: $$0$$

в) $$S=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 x\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx.$$

$$S=\left.\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right|_{-\pi}^{\pi}=\left(\frac{\pi}{2}-0\right)-\left(-\frac{\pi}{2}-0\right)=\pi.$$

Ответ: $$\pi$$

г) $$S=\int_{0}^{\pi}\sin 3x\cos 5x\,dx.$$

Применим формулу:

$$\sin 3x\cos 5x=\frac{\sin 8x-\sin 2x}{2}.$$

Тогда

$$S=\frac12\int_{0}^{\pi}\sin 8x\,dx-\frac12\int_{0}^{\pi}\sin 2x\,dx.$$

$$S=\frac12\left.\left(-\frac{\cos 8x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}\right)\right|_{0}^{\pi} =\frac12\left(-\frac{1}{8}+\frac12+\frac18-\frac12\right)=0.$$

Ответ: $$0$$