Упр.271 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

С помощью интегралов найдите предел:

1. а) $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\sin\frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\dots+\sin\frac{(n-1)\pi}{n}\right)$$;
   б) $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{n+n}\right)$$;
   в) $$\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\dots+n^p}{n^{p+1}}$$ при $$p>0$$;
   г) $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{p-1}}{(n+1)^p}+\frac{n^{p-1}}{(n+2)^p}+\dots+\frac{n^{p-1}}{(n+n)^p}\right)$$ при $$p>1$$.

Рассмотрим каждый предел как сумму Римана.

1. $$a=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\sin\frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\cdots+\sin\frac{(n-1)\pi}{n}\right).$$

   Это сумма вида $$\sum f\!\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}$$ для функции $$f(x)=\sin \pi x$$ на отрезке $$[0,1]$$. Тогда

   $$a=\int_0^1 \sin \pi x\,dx=\left.-\frac{\cos \pi x}{\pi}\right|_0^1=\frac{2}{\pi}.$$

2. $$a=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right).$$

   Преобразуем:

   $$a=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{1}{1+\frac{n}{n}}\right).$$

   Это сумма Римана для функции $$f(x)=\frac{1}{1+x}$$ на $$[0,1]$$. Поэтому

   $$a=\int_0^1 \frac{dx}{1+x}=\left.\ln(1+x)\right|_0^1=\ln 2.$$

3. $$a=\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}, \qquad p>0.$$

   Запишем в виде:

   $$a=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\left(\frac{1}{n}\right)^p+\left(\frac{2}{n}\right)^p+\cdots+\left(\frac{n}{n}\right)^p\right).$$

   Тогда

   $$a=\int_0^1 x^p\,dx=\left.\frac{x^{p+1}}{p+1}\right|_0^1=\frac{1}{p+1}.$$

4. $$a=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{p-1}}{(n+1)^p}+\frac{n^{p-1}}{(n+2)^p}+\cdots+\frac{n^{p-1}}{(n+n)^p}\right), \qquad p>1.$$

   Преобразуем:

   $$a=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^p}+\frac{1}{\left(1+\frac{2}{n}\right)^p}+\cdots+\frac{1}{\left(1+\frac{n}{n}\right)^p}\right).$$

   Это сумма Римана для функции $$f(x)=\frac{1}{(1+x)^p}$$ на $$[0,1]$$. Следовательно,

   $$a=\int_0^1 \frac{dx}{(1+x)^p}=\left.\frac{(1+x)^{1-p}}{1-p}\right|_0^1=\frac{2^{\,1-p}-1}{1-p}.$$

Ответ: а) $$\frac{2}{\pi}$$; б) $$\ln 2$$; в) $$\frac{1}{p+1}$$; г) $$\frac{2^{\,1-p}-1}{1-p}$$.