Упр.270 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\int_{0}^{28}\frac{5-x}{\left(1+\frac{x}{4}\right)^{\frac{1}{3}}}\,dx$$;
   б) $$\int_{0}^{1}xe^{x^2}\,dx$$;
   в) $$\int_{-2}^{0}x\left(1-\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\,dx$$;
   г) $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos^2 x+\cos^4 x\right)\,dx$$.

а) Введём замену $$y=1+\frac{x}{4}, \quad x=4y-4, \quad dx=4\,dy.$$

Тогда при $$x=0$$ имеем $$y=1,$$ при $$x=28$$ имеем $$y=8.$$ Получаем

$$\int_{0}^{28}\frac{5-x}{\sqrt[3]{1+\frac{x}{4}}}\,dx = \int_{1}^{8}\frac{9-4y}{y^{1/3}}\cdot 4\,dy = \int_{1}^{8}\left(36y^{-1/3}-16y^{2/3}\right)dy.$$

$$\int_{1}^{8}\left(36y^{-1/3}-16y^{2/3}\right)dy = \left(54y^{2/3}-\frac{48}{5}y^{5/3}\right)\Bigg|_{1}^{8}.$$

$$54\cdot 8^{2/3}-\frac{48}{5}\cdot 8^{5/3}-54+\frac{48}{5} = 54\cdot 4-\frac{48}{5}\cdot 32-54+\frac{48}{5} = -135{,}6.$$

Ответ: $$-135{,}6.$$

б) Сделаем замену $$y=x^2,$$ тогда $$dy=2x\,dx,$$ значит $$x\,dx=\frac{1}{2}dy.$$

Пределы интегрирования: при $$x=0$$ получаем $$y=0,$$ при $$x=1$$ получаем $$y=1.$$ Тогда

$$\int_{0}^{1}xe^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^y\,dy = \frac{1}{2}e^y\Bigg|_{0}^{1} = \frac{e-1}{2}.$$

Ответ: $$\frac{e-1}{2}.$$

в) Введём замену $$y=1-\frac{x}{2}, \quad x=2-2y, \quad dx=-2\,dy.$$

При $$x=2$$ имеем $$y=0,$$ при $$x=0$$ имеем $$y=1.$$ Тогда

$$\int_{2}^{0}x\sqrt[3]{1-\frac{x}{2}}\,dx = \int_{0}^{1}(2-2y)y^{1/3}(-2)\,dy = \int_{0}^{1}\left(4y^{4/3}-4y^{1/3}\right)dy.$$

$$\int_{0}^{1}\left(4y^{4/3}-4y^{1/3}\right)dy = \left(\frac{12}{7}y^{7/3}-3y^{4/3}\right)\Bigg|_{0}^{1} = \frac{12}{7}-3 = -\frac{9}{7}.$$

Ответ: $$-\frac{9}{7}.$$

г) Используем формулы

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \cos^4 x=\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2=\frac{1+2\cos 2x+\cos^2 2x}{4}.$$

Так как $$\cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2},$$ то

$$\cos^2 x+\cos^4 x = \frac{1+\cos 2x}{2} + \frac{1+2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}}{4} = \frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}.$$

Тогда

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\cos^2 x+\cos^4 x)\,dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}\,dx.$$

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}\,dx = \left(\frac{3x}{8}+\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{32}\sin 4x\right)\Bigg|_{-\pi/2}^{\pi/2}.$$

Синусы на концах отрезка равны нулю, поэтому

$$S=\frac{3}{8}\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\frac{3\pi}{8}.$$

Ответ: $$\frac{3\pi}{8}.$$