Упр.27 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Через точку $$E$$ стороны $$AB$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая, параллельная стороне $$AC$$. Найдите:

а) отрезки, на которые прямая делит сторону $$BC$$, если $$AB=22{,}5\ \text{см}$$, $$AE=18\ \text{см}$$, $$BC=15\ \text{см}$$;

б) площади фигур, на которые делится треугольник $$ABC$$, если $$AB=7{,}5\ \text{см}$$, $$AE=5\ \text{см}$$, а площадь треугольника $$ABC$$ равна $$72\ \text{см}^2$$.

Так как прямая, проведённая через точку $$E$$ параллельно стороне $$AC$$, то треугольники $$BEF$$ и $$BAC$$ подобны.

а)

Из подобия треугольников получаем:

$$\frac{AE}{AB}=\frac{CF}{BC}.$$

Тогда

$$CF=\frac{AE\cdot BC}{AB}=\frac{18\cdot 15}{22{,}5}=12\text{ см}.$$

Найдём второй отрезок:

$$BF=BC-CF=15-12=3\text{ см}.$$

б)

Сначала найдём отношение подобных треугольников:

$$\frac{BE}{BA}=\frac{AB-AE}{AB}=\frac{7{,}5-5}{7{,}5}=\frac{2{,}5}{7{,}5}=\frac13.$$

Тогда отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}}=\left(\frac13\right)^2=\frac19.$$

Следовательно,

$$S_{BEF}=\frac19\cdot 72=8\text{ см}^2.$$

Площадь второй фигуры:

$$S_{AEFC}=S_{ABC}-S_{BEF}=72-8=64\text{ см}^2.$$

Ответ: а) $$12$$ см и $$3$$ см; б) $$8$$ см$$^2$$ и $$64$$ см$$^2$$.