Упр.27 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что число $$\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}$$ рационально.

Пусть

$$x=\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}.$$

Тогда по формуле $$\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)$$ получаем

$$x^3=6+\sqrt{\frac{847}{27}}+6-\sqrt{\frac{847}{27}}+3\sqrt[3]{\left(6+\sqrt{\frac{847}{27}}\right)\left(6-\sqrt{\frac{847}{27}}\right)}\cdot x.$$

Упростим произведение под корнем:

$$\left(6+\sqrt{\frac{847}{27}}\right)\left(6-\sqrt{\frac{847}{27}}\right) =36-\frac{847}{27} =\frac{125}{27}.$$

Тогда

$$x^3=12+3x\sqrt[3]{\frac{125}{27}}=12+5x.$$

Следовательно,

$$x^3-5x-12=0.$$

Проверим целый корень: при $$x=3$$ имеем

$$3^3-5\cdot 3-12=27-15-12=0.$$

Значит, $$x=3$$ — корень уравнения. Следовательно, данное число рационально.

Ответ: $$3$$.