Упр.27 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а) Используем формулу для синуса двойного аргумента:

$$\sin \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{12}=\frac12\cdot 2\sin \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{12}=\frac12\sin \frac{\pi}{6}=\frac12\cdot \frac12=\frac14.$$

б) Преобразуем разность синусов в произведение:

$$\left(\sin \frac{7\pi}{18}-\sin \frac{\pi}{18}\right):\cos \frac{2\pi}{9} = \frac{2\sin \frac{7\pi/18+\pi/18}{2}\cos \frac{7\pi/18-\pi/18}{2}}{\cos \frac{2\pi}{9}} = \frac{2\sin \frac{\pi}{6}\cos \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{2\pi}{9}}.$$

Так как $$\sin \frac{\pi}{6}=\frac12,$$ получаем

$$\frac{2\cdot \frac12 \cos \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{2\pi}{9}}=\frac{\cos \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{2\pi}{9}}.$$

Но $$\cos \frac{2\pi}{9}=\cos \left(2\cdot \frac{\pi}{9}\right),$$ поэтому

$$\cos \frac{\pi}{9}=\cos \frac{2\pi}{9}$$

неверно, значит нужно использовать правильное преобразование:

$$\sin \frac{7\pi}{18}-\sin \frac{\pi}{18} =2\cos \frac{7\pi/18+\pi/18}{2}\sin \frac{7\pi/18-\pi/18}{2} =2\cos \frac{2\pi}{9}\sin \frac{\pi}{9}.$$

Тогда

$$\left(\sin \frac{7\pi}{18}-\sin \frac{\pi}{18}\right):\cos \frac{2\pi}{9} =2\sin \frac{\pi}{9}.$$

Так как $$2\sin \frac{\pi}{9}=1,$$ получаем ответ $$1.$$

в) Используем формулу:

$$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x.$$

При $$x=\frac{\pi}{8}$$ имеем

$$\left(\sin^2 \frac{\pi}{8}-\cos^2 \frac{\pi}{8}\right)^2 =\left(-\cos \frac{\pi}{4}\right)^2 =\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =\frac12.$$

г) Применим формулу разности косинусов:

$$\frac{\cos \frac{11\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{12}}{\sin \frac{5\pi}{12}} = \frac{-2\sin \frac{11\pi/12+\pi/12}{2}\sin \frac{11\pi/12-\pi/12}{2}}{\sin \frac{5\pi}{12}} = \frac{-2\sin \frac{\pi}{2}\sin \frac{5\pi}{12}}{\sin \frac{5\pi}{12}} =-2.$$