Упр.269 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

269. Воспользуйтесь результатами задачи 268 и вычислите:
     а) $$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}(\operatorname{tg}x+\sin x)\,dx$$;
     б) $$\int_{-\pi}^{\pi}x\cos x\,dx$$.

Рассмотрим каждое выражение.

1. $$\int_{-\pi/3}^{\pi/3}(\tg x+\sin x)\,dx$$

   Пусть $$f(x)=\tg x+\sin x.$$ Тогда

   $$f(-x)=\tg(-x)+\sin(-x)=-\tg x-\sin x=-f(x).$$

   Значит, функция нечётная. Пределы интегрирования симметричны относительно нуля, поэтому

   $$\int_{-\pi/3}^{\pi/3}(\tg x+\sin x)\,dx=0.$$

2. $$\int_{-\pi}^{\pi}x\cos x\,dx$$

   Пусть $$f(x)=x\cos x.$$ Тогда

   $$f(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная, а значит, на симметричном промежутке интеграл равен нулю:

   $$\int_{-\pi}^{\pi}x\cos x\,dx=0.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$0$$.