Упр.268 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите общий вид первообразных для функции:
   а) $$f(x)=4\sin(x)+\cos(3x)$$;
   б) $$f(x)=x^2+x^{-5}+x^{2+v3}$$;
   в) $$f(x)=2+\frac{3}{x-1}$$;
   г) $$f(x)=\frac{2}{\cos^2(2x)}+\frac{3}{\sin^2(3x)}$$.

Используем формулу первообразной: если $$F'(x)=f(x),$$ то $$\int f(x)\,dx=F(x)+C.$$

1. $$f(x)=4\sin x+\cos 3x.$$

   Интегрируем по частям суммы:

   $$\int \left(4\sin x+\cos 3x\right)\,dx=4\int \sin x\,dx+\int \cos 3x\,dx.$$

   $$F(x)=-4\cos x+\frac{1}{3}\sin 3x+C.$$

2. $$f(x)=x^2+x^{-5}+x^{2+\sqrt3}.$$

   Интегрируем каждое слагаемое:

   $$\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}, \qquad \int x^{-5}\,dx=\frac{x^{-4}}{-4}=-\frac{x^{-4}}{4},$$

   $$\int x^{2+\sqrt3}\,dx=\frac{x^{3+\sqrt3}}{3+\sqrt3}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^{-4}}{4}+\frac{x^{3+\sqrt3}}{3+\sqrt3}+C.$$

3. $$f(x)=2+\frac{3}{x-1}, \qquad x\ne 1.$$

   Тогда

   $$\int \left(2+\frac{3}{x-1}\right)\,dx=2x+3\int \frac{dx}{x-1}.$$

   $$F(x)=2x+3\ln|x-1|+C.$$

4. $$f(x)=\frac{2}{\cos^2 2x}+\frac{3}{\sin^2 3x}.$$

   Используем, что

   $$\int \frac{dx}{\cos^2 ax}=\frac{\tg ax}{a}+C, \qquad \int \frac{dx}{\sin^2 ax}=-\frac{\ctg ax}{a}+C.$$

   Тогда

   $$\int \frac{2}{\cos^2 2x}\,dx=2\cdot \frac{\tg 2x}{2}=\tg 2x,$$

   $$\int \frac{3}{\sin^2 3x}\,dx=3\cdot\left(-\frac{\ctg 3x}{3}\right)=-\ctg 3x.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\tg 2x-\ctg 3x+C.$$

Ответ:

а) $$F(x)=-4\cos x+\frac{1}{3}\sin 3x+C;$$

б) $$F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^{-4}}{4}+\frac{x^{3+\sqrt3}}{3+\sqrt3}+C;$$

в) $$F(x)=2x+3\ln|x-1|+C;$$

г) $$F(x)=\tg 2x-\ctg 3x+C.$$