Упр.268 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что: а) $$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0$$, если $$f(x)$$ — нечётная функция; б) $$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x)\,dx$$, если $$f(x)$$ — чётная функция.
Пусть $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)$$.
а)
Если $$f(x)$$ — нечётная функция, то $$f(-x)=-f(x)$$. Тогда первообразная $$F(x)$$ будет чётной, то есть $$F(-x)=F(x)$$.
Обозначим
$$S=\int_{-a}^{a} f(x)\,dx.$$
По формуле Ньютона — Лейбница получаем:
$$S=F(a)-F(-a).$$
Так как $$F(-a)=F(a)$$, то
$$S=F(a)-F(a)=0.$$
Следовательно,
$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0.$$
б)
Если $$f(x)$$ — чётная функция, то $$f(-x)=f(x)$$. Тогда первообразная $$F(x)$$ будет нечётной, то есть $$F(-x)=-F(x)$$.
Обозначим
$$S=\int_{-a}^{a} f(x)\,dx.$$
По формуле Ньютона — Лейбница:
$$S=F(a)-F(-a).$$
Так как $$F(-a)=-F(a)$$, то
$$S=F(a)-(-F(a))=2F(a).$$
Но
$$F(a)-F(0)=\int_{0}^{a} f(x)\,dx.$$
При этом для чётной функции можно записать:
$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.$$
Что и требовалось доказать.
Ответ
$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0$$ при нечётной $$f(x)$$; $$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x)\,dx$$ при чётной $$f(x)$$.
