Упр.267 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что графики функций $$f(x)=(x+2)^2$$ и $$g(x)=2-x^2$$ имеют общую точку и общую касательную, проходящую через эту точку.

Найдём общую точку графиков, приравняв функции:

$$(x+2)^2=2-x^2$$

$$x^2+4x+4=2-x^2$$

$$2x^2+4x+2=0$$

$$x^2+2x+1=0$$

$$(x+1)^2=0$$

$$x=-1$$

Тогда

$$y=f(-1)=(-1+2)^2=1.$$

Общая точка графиков: $$(-1;1).$$

Теперь найдём производные:

$$f'(x)=2(x+2), \qquad g'(x)=-2x.$$

В точке $$x=-1$$ получаем:

$$f'(-1)=2(-1+2)=2, \qquad g'(-1)=-2\cdot(-1)=2.$$

Значит, в точке $$(-1;1)$$ графики имеют одинаковый наклон, то есть общую касательную, проходящую через эту точку.

Ответ

Графики имеют общую точку $$(-1;1)$$ и общую касательную в этой точке.