Упр.267 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Пусть $$f(x)$$ — многочлен степени не выше 3. Докажите, что $$\int_a^b f(x)\,dx=\frac{b-a}{6}(y_1+4y_2+y_3)$$, где $$y_1=f(a)$$, $$y_2=f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$, $$y_3=f(b)$$.

Подробный ответ

Докажем равенство для любого многочлена $$f(x)$$ степени не выше $$3$$.

Так как любой такой многочлен можно представить в виде линейной комбинации функций $$1,\ x,\ x^2,\ x^3$$, достаточно проверить формулу для этих четырёх случаев.

Если $$f(x)=1$$, то
$$\int_a^b 1\,dx=b-a.$$
При этом
$$y_1=1,\quad y_2=1,\quad y_3=1,$$
и правая часть равна
$$\frac{b-a}{6}(y_1+4y_2+y_3)=\frac{b-a}{6}(1+4+1)=b-a.$$
Если $$f(x)=x$$, то
$$\int_a^b x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_a^b=\frac{b^2-a^2}{2}.$$
Здесь
$$y_1=a,\quad y_2=\frac{a+b}{2},\quad y_3=b,$$
поэтому
$$\frac{b-a}{6}(y_1+4y_2+y_3)=\frac{b-a}{6}\left(a+4\cdot\frac{a+b}{2}+b\right).$$
$$\frac{b-a}{6}(3a+3b)=\frac{b-a}{2}(a+b)=\frac{b^2-a^2}{2}.$$
Если $$f(x)=x^2$$, то
$$\int_a^b x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_a^b=\frac{b^3-a^3}{3}.$$
Здесь
$$y_1=a^2,\quad y_2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2,\quad y_3=b^2,$$
и
$$\frac{b-a}{6}(y_1+4y_2+y_3)=\frac{b-a}{6}\left(a^2+4\cdot\frac{(a+b)^2}{4}+b^2\right).$$
$$\frac{b-a}{6}\bigl(a^2+(a+b)^2+b^2\bigr)=\frac{b-a}{6}\bigl(2a^2+2ab+2b^2\bigr)$$
$$=\frac{b-a}{3}(a^2+ab+b^2)=\frac{b^3-a^3}{3}.$$
Если $$f(x)=x^3$$, то
$$\int_a^b x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_a^b=\frac{b^4-a^4}{4}.$$
Здесь
$$y_1=a^3,\quad y_2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^3,\quad y_3=b^3,$$
и
$$\frac{b-a}{6}(y_1+4y_2+y_3)=\frac{b-a}{6}\left(a^3+4\cdot\frac{(a+b)^3}{8}+b^3\right).$$
$$=\frac{b-a}{6}\left(a^3+\frac{(a+b)^3}{2}+b^3\right).$$
Раскроем куб:
$$\frac{(a+b)^3}{2}=\frac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{2}.$$
Тогда
$$\frac{b-a}{6}\cdot\frac{2a^3+a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+2b^3}{2}$$
$$=\frac{b-a}{12}\bigl(3a^3+3a^2b+3ab^2+3b^3\bigr)$$
$$=\frac{b-a}{4}(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$$
$$=\frac{b-a}{4}(a+b)(a^2+b^2)=\frac{b^4-a^4}{4}.$$