Упр.266 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что любая касательная к графику функции $$f(x)=x^5+2x-7$$ составляет с осью абсцисс острый угол.

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^5+2x-7$$

$$f'(x)=5x^4+2$$

Так как $$x^4\ge 0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, то

$$5x^4+2>0$$

значит, $$f'(x)>0$$ для всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Угол наклона касательной к оси абсцисс определяется формулой $$\tan \alpha=f'(x_0)$$. Поскольку $$f'(x_0)>0$$, то $$\tan \alpha>0$$, следовательно, $$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$$.

Значит, любая касательная к графику данной функции составляет с осью абсцисс острый угол.

Ответ

Любая касательная к графику функции $$f(x)=x^5+2x-7$$ образует с осью абсцисс острый угол.