Упр.266 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Материальная точка движется по прямой. Докажите, что:
   а) $$x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}v(t)\,dt$$, если известна её скорость $$v(t)$$ в любой момент $$t$$ и координата точки в начальный момент $$t_0$$ равна $$x_0$$;
   б) $$v(t)=v_0+\int_{t_0}^{t}a(t)\,dt$$, если известно её ускорение $$a(t)$$ в любой момент $$t$$ и скорость в начальный момент $$t_0$$ равна $$v_0$$.

Пусть

$$x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}v(\tau)\,d\tau.$$

Тогда, дифференцируя по $$t$$, получаем

$$x'(t)=\left(x_0+\int_{t_0}^{t}v(\tau)\,d\tau\right)’=0+v(t)=v(t).$$

При $$t=t_0$$ имеем

$$x(t_0)=x_0+\int_{t_0}^{t_0}v(\tau)\,d\tau=x_0.$$

Значит, формула

$$x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}v(\tau)\,d\tau$$

действительно задаёт координату точки, если известна её скорость $$v(t)$$ и $$x(t_0)=x_0$$.

Аналогично, пусть

$$v(t)=v_0+\int_{t_0}^{t}a(\tau)\,d\tau.$$

Тогда

$$v'(t)=\left(v_0+\int_{t_0}^{t}a(\tau)\,d\tau\right)’=0+a(t)=a(t).$$

И при $$t=t_0$$

$$v(t_0)=v_0+\int_{t_0}^{t_0}a(\tau)\,d\tau=v_0.$$

Следовательно,

$$v(t)=v_0+\int_{t_0}^{t}a(\tau)\,d\tau$$

верно, если известно ускорение $$a(t)$$ и $$v(t_0)=v_0$$.

Ответ

$$x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}v(\tau)\,d\tau,\qquad v(t)=v_0+\int_{t_0}^{t}a(\tau)\,d\tau.$$