Упр.265 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что любая касательная к графику функции $$f(x)=x^3+\frac{1}{2}x^2+x-3$$ пересекает ось абсцисс.

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^3+\frac12x^2+x-3,$$

$$f'(x)=3x^2+x+1.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$3x^2+x+1.$$ Его дискриминант равен

$$D=1-4\cdot 3\cdot 1=-11<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, а дискриминант отрицателен, то

$$3x^2+x+1>0$$

при всех $$x\in\mathbb{R}.$$ Значит, касательная к графику функции в любой точке имеет ненулевой угловой коэффициент, то есть не параллельна оси абсцисс.

Следовательно, любая касательная к графику функции $$f(x)=x^3+\frac12x^2+x-3$$ пересекает ось абсцисс.

Ответ

Любая касательная пересекает ось абсцисс, так как $$f'(x)=3x^2+x+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$