Упр.265 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем формулу линейного приближения:

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x.$$

1. $$f(x)=\cos x,\quad f'(x)=-\sin x.$$

   При $$x_0=\frac{\pi}{6},\ \Delta x=0{,}04$$ получаем:

   $$\cos\left(\frac{\pi}{6}+0{,}04\right)\approx \cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}\cdot 0{,}04$$

   $$=\frac{\sqrt3}{2}-\frac12\cdot 0{,}04\approx 0{,}866-0{,}02=0{,}846\approx 0{,}84.$$

2. $$f(x)=\sin x,\quad f'(x)=\cos x.$$

   При $$x_0=\frac{\pi}{3},\ \Delta x=-0{,}02$$:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{3}-0{,}02\right)\approx \sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}\cdot(-0{,}02)$$

   $$=\frac{\sqrt3}{2}-\frac12\cdot 0{,}02\approx 0{,}866-0{,}01=0{,}856.$$

3. При $$x_0=\frac{\pi}{6},\ \Delta x=0{,}03$$:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+0{,}03\right)\approx \sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{6}\cdot 0{,}03$$

   $$=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\cdot 0{,}03\approx 0{,}5+0{,}026=0{,}526.$$

4. $$f(x)=\tg x,\quad f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

   При $$x_0=\frac{\pi}{4},\ \Delta x=0{,}05$$:

   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+0{,}05\right)\approx \tg\frac{\pi}{4}+\frac{0{,}05}{\cos^2\frac{\pi}{4}}$$

   $$=1+\frac{0{,}05}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=1+0{,}1=1{,}1.$$

Ответ: а) $$0{,}84$$; б) $$0{,}856$$; в) $$0{,}526$$; г) $$1{,}1$$.