Упр.265 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите первообразные для функций $$e^x\sin(x)$$ и $$e^x\cos(x)$$.

Ищем первообразные в виде

$$F(x)=Ae^x\sin x+Be^x\cos x+C.$$

Тогда

$$F'(x)=Ae^x\sin x+Ae^x\cos x+Be^x\cos x-Be^x\sin x$$

$$F'(x)=(A-B)e^x\sin x+(A+B)e^x\cos x.$$

Сравним с подынтегральной функцией.

1. Для $$f(x)=e^x\sin x$$ получаем систему

   $$A-B=1,\qquad A+B=0.$$

   Отсюда

   $$A=\frac12,\qquad B=-\frac12.$$

   Значит, первообразная:

   $$F_1(x)=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C.$$

2. Для $$f(x)=e^x\cos x$$ получаем систему

   $$A-B=0,\qquad A+B=1.$$

   Отсюда

   $$A=\frac12,\qquad B=\frac12.$$

   Значит, первообразная:

   $$F_2(x)=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C.$$

Ответ: $$\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C,\qquad \frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C.$$