Упр.264 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите абсциссы точек графика функции $$f(x)=x^3+\frac{1}{2}x^2-x-3$$, касательные в которых наклонены к оси абсцисс под углом $$135^\circ$$.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен $$135^\circ,$$ значит её угловой коэффициент

$$k=\tan 135^\circ=-1.$$

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^3+\frac12x^2-x-3,$$

$$f'(x)=3x^2+x-1.$$

Точки графика, в которых касательная имеет наклон $$135^\circ,$$ находятся из уравнения

$$3x^2+x-1=-1.$$

Тогда

$$3x^2+x=0,$$

$$x(3x+1)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac13.$$

Ответ

$$-\frac13;\ 0.$$