Упр.264 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем формулу приближённого значения функции:

$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x,$$

где $$x=x_0+\Delta x,$$ а $$x_0$$ — удобный угол, близкий к данному.

1. $$\tg 44^\circ$$

   Берём $$x_0=45^\circ=\frac{\pi}{4},\quad \Delta x=-1^\circ=-\frac{\pi}{180}.$$

   Для $$f(x)=\tg x$$ имеем

   $$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

   Тогда

   $$\tg 44^\circ \approx \tg \frac{\pi}{4}+\frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{4}}\left(-\frac{\pi}{180}\right) =1+2\left(-\frac{\pi}{180}\right) =1-\frac{\pi}{90}\approx 0{,}966.$$

2. $$\cos 61^\circ$$

   Берём $$x_0=60^\circ=\frac{\pi}{3},\quad \Delta x=1^\circ=\frac{\pi}{180}.$$

   Для $$f(x)=\cos x$$ имеем

   $$f'(x)=-\sin x.$$

   Тогда

   $$\cos 61^\circ \approx \cos \frac{\pi}{3}-\sin \frac{\pi}{3}\cdot \frac{\pi}{180} =\frac12-\frac{\sqrt3\,\pi}{360} \approx 0{,}4849.$$

3. $$\sin 31^\circ$$

   Берём $$x_0=30^\circ=\frac{\pi}{6},\quad \Delta x=1^\circ=\frac{\pi}{180}.$$

   Для $$f(x)=\sin x$$ имеем

   $$f'(x)=\cos x.$$

   Тогда

   $$\sin 31^\circ \approx \sin \frac{\pi}{6}+\cos \frac{\pi}{6}\cdot \frac{\pi}{180} =\frac12+\frac{\sqrt3\,\pi}{360} \approx 0{,}5151.$$

4. $$\ctg 47^\circ$$

   Берём $$x_0=45^\circ=\frac{\pi}{4},\quad \Delta x=2^\circ=\frac{\pi}{90}.$$

   Для $$f(x)=\ctg x$$ имеем

   $$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}.$$

   Тогда

   $$\ctg 47^\circ \approx \ctg \frac{\pi}{4}-\frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{4}}\cdot \frac{\pi}{90} =1-2\cdot \frac{\pi}{90} =1-\frac{\pi}{45} \approx 0{,}9302.$$

Ответ: а) $$0{,}966$$; б) $$0{,}4849$$; в) $$0{,}5151$$; г) $$0{,}9302$$.