Упр.263 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

В какой точке параболы $$y=-\frac{x^2}{2}-1$$ касательная наклонена к оси абсцисс под углом: а) 45°; б) 135°?

Найдём угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=-\frac{x^2}{2}-1.$$

Производная:

$$y’=-x.$$

Если касательная наклонена к оси абсцисс под углом $$\alpha,$$ то её угловой коэффициент равен $$\tan \alpha,$$ значит

$$-x=\tan \alpha.$$

1. При $$\alpha=45^\circ$$ имеем

   $$-x=\tan 45^\circ=1,$$

   откуда $$x=-1.$$ Тогда

   $$y=-\frac{(-1)^2}{2}-1=-\frac12-1=-\frac32.$$

   Точка касания: $$M(-1;\,-\frac32).$$

2. При $$\alpha=135^\circ$$ имеем

   $$-x=\tan 135^\circ=-1,$$

   откуда $$x=1.$$ Тогда

   $$y=-\frac{1^2}{2}-1=-\frac12-1=-\frac32.$$

   Точка касания: $$M(1;\,-\frac32).$$

Ответ: а) $$M(-1;\,-\frac32)$$; б) $$M(1;\,-\frac32).$$