Упр.263 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество с помощью признака постоянства функции: а) $$\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{?}{2}$$; б) $$\arctg(x)+\arcctg(x)=\frac{?}{2}$$.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\arcsin x+\arccos x.$$

Её область определения: $$-1\le x\le 1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0.$$

Значит, на всей области определения функция постоянна. Найдём её значение при $$x=0$$:

$$f(0)=\arcsin 0+\arccos 0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$

Аналогично для функции

$$g(x)=\arctg x+\arcctg x.$$

Её область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0.$$

Значит, функция постоянна. При $$x=0$$ получаем:

$$g(0)=\arctg 0+\arcctg 0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$\arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2},\qquad \arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}.$$